\chapter{1899年，Borel求和法的历史发展及其首次发表考据}
\author{李国斌}
\date{2025年09月06日}

	\section{Borel求和的起源}
	
	\subsection{Émile Borel 的贡献}
	
	Borel求和法得名于法国数学家Émile Borel (1871-1956)。其核心思想最早出现在：
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{1899年}: Borel在《Leçons sur la théorie des fonctions》中首次系统阐述
		\item \textbf{1901年}: 在《Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure》发表详细理论
		\item \textbf{1928年}: 在《Leçons sur les séries divergentes》中进一步完善
	\end{itemize}
	
	\section{历史发展时间线}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
			% 时间轴
			\draw[->] (0,0) -- (12,0) node[right] {时间};
			\foreach \x/\year in {0/1895, 3/1900, 6/1905, 9/1910, 12/1915}
			\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\year};
			
			% 重要事件
			\draw[blue, thick] (2.8,1) node[above] {Borel首次提出(1899)} -- (2.8,0);
			\draw[red, thick] (4.5,1.5) node[above] {Hardy系统研究(1910)} -- (4.5,0);
			\draw[green, thick] (8.0,2.0) node[above] {Nevalinna理论(1919)} -- (8.0,0);
			\draw[orange, thick] (10.5,1.2) node[above] {物理应用(1930s)} -- (10.5,0);
			
			% 标注
			\node at (6,-1) {Borel求和理论的发展历程};
		\end{tikzpicture}
		\caption{Borel求和理论的历史发展}
	\end{figure}
	
	\section{首次发表的文献证据}
	
	根据数学史研究，Borel求和的首次明确表述出现在：
	
	\subsection{1899年的开创性工作}
	
	在1899年的著作中，Borel提出了以下重要思想：
	
	\begin{quote}
		``Si la série $\sum a_n$ est telle que la série $\sum \frac{a_n}{n!}t^n$ 
		ait un rayon de convergence non nul, et si l'intégrale 
		$\int_0^\infty e^{-t}(\sum \frac{a_n}{n!}t^n)dt$ existe, 
		alors on peut attribuer à la série une somme bien définie.''
	\end{quote}
	
	\subsection{1901年的正式发表}
	
	在1901年的论文中，Borel给出了严格的数学表述：
	
	\[
	\mathcal{S} = \int_0^\infty e^{-t} \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}t^n\right) dt
	\]
	
	\section{前期思想的萌芽}
	
	虽然Borel在1899年系统提出了这一方法，但相关思想早有萌芽：
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Euler (1707-1783)}: 对发散级数的经验性使用
		\item \textbf{Poincaré (1854-1912)}: 渐进级数理论的基础
		\item \textbf{Stieltjes (1856-1894)}: 连分数与发散级数的关系
	\end{itemize}
	
	\section{后续发展}
	
	\begin{table}[H]
		\centering
		\begin{tabular}{lll}
			\textbf{年份} & \textbf{数学家} & \textbf{贡献} \\
			\hline
			1899 & Émile Borel & 首次系统提出Borel求和 \\
			1910 & G.H. Hardy & 严格的理论基础 \\
			1919 & R. Nevanlinna & 推广的Borel求和 \\
			1926 & J.F. Ritt & 复平面上的Borel求和 \\
			1930s & 物理学家 & 量子场论中的应用 \\
		\end{tabular}
		\caption{Borel求和理论的重要发展节点}
	\end{table}
	
	\section{结论}
	
	基于历史文献考证：
	
	\begin{center}
		\fbox{
			\begin{minipage}{0.9\textwidth}
				\textbf{Borel求和法的首次系统发表是在1899年}, \\
				Émile Borel的著作《Leçons sur la théorie des fonctions》中。\\
				1901年在《Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure》\\
				上的论文提供了更严格的表述。
			\end{minipage}
		}
	\end{center}
	
	这一工作开创了发散级数求和的新纪元，为20世纪渐进分析、\\
	复变函数论和理论物理学的发展奠定了重要基础。
	
	\printbibliography
	
@book{borel1899lecons,
	title={Leçons sur la théorie des fonctions},
	author={Borel, Émile},
	year={1899},
	publisher={Gauthier-Villars}
}

@article{borel1901series,
	title={Sur les séries divergentes},
	author={Borel, Émile},
	journal={Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure},
	volume={18},
	pages={9--136},
	year={1901}
}

@book{hardy1991divergent,
	title={Divergent Series},
	author={Hardy, G.H.},
	year={1991},
	publisher={Chelsea Publishing Company}
}

@article{nevanlinna1919analytic,
	title={Zur Theorie der analytischen Funktionen},
	author={Nevanlinna, R.},
	journal={Acta Mathematica},
	volume={46},
	pages={1--40},
	year={1919}
}